В равнобедренном треугольнике угол при основании равен альфа. Найти отношение площади треугольника к площади описанного около него круга.

Так как площадь треугольника равна:
$S_{Delta}=cfrac{1}{2}cdot bcdot h$
Зная угол при основании найдем высоту:
$h=acdotsinalpha$
Тогда площадь будет равна:
$S_{Delta}=cfrac{1}{2}cdot acdot bcdotsinalpha$
Исходя из теоремы синусов:
$cfrac{a}{sinalpha}=2R$
$a=2Rcdotsinalpha$
Выразим сторону b:
$cosalpha=cfrac{b}{2a}$
$b=2acdotcosalpha=4Rsinalphacosalpha$
Тогда площадь треугольника будет равна:
$S_{Delta}=cfrac{1}{2}cdot 4Rsinalphacosalphacdot 2Rcdotsinalpha=4R^2sin^2alphacosalpha$
А площадь круга равна:
$S_o=pi R^2$
Отношение площади треугольника к площади круга:
$cfrac{S_{Delta}}{S_o}=cfrac{4R^2sin^2alphacosalpha}{pi R^2}=cfrac{4}{pi}cdotsin^2alphacosalpha$