Дайте, пожалуйста, подробное доказательство...
Условие: "Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м2 (больше одного квадратного метра)?"
Ответ: Да
Но как доказать???

Положим что стороны треугольника равны $a,b,c$ , и высоты соответственно опущенные на них $h_{1};h_{2};h_{3}$
По условию $h_{1}<0.01 h_{2}<0.01 h_{3}<0.01$
$S=frac{ah_{1}}{2}>1 S=frac{bh_{2}}{2}>1 S=frac{ch_{3}}{2}>1 ah_{1}>2 bh_{2}>2 ch_{3}>2$

Учитывая при этом неравенство треугольников
$a+b>c a+c>b b+c>a$

Приходим к неравенству
$x>frac{2}{a} x<0.01$
$y>frac{2}{b} y<0.01$
$z>frac{2}{c} z<0.01$
Откуда получим решения
$a>400b>a+200b-a<c<a+bfrac{2}{a}<x<frac{1}{100}frac{2}{b}<y<frac{1}{100}frac{2}{z}<z<frac{1}{100}$
Это значит что такой треугольник есть

Можно конечно через какие то геометрические соображения решить