Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?
решите пожалуйста как можно подробнее)

Пусть наш куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ имеет длину ребра $1$ , середина точка $N$ , $N in A_{1}D_{1}$ так как самая удаленная вершина всегда будет симметрична , какую бы точку не взять на середине ребра данного куба , рассмотрим когда точка лежит , на ребре $A_{1}D_{1}$
Теперь надо понять как он должен двигаться , с начало в какую сторону , видно что самое удаленная вершина это точка $B$ , так же и другая есть симметричная ей $C$ , но будет рассматривать $B$ .
так как $AB<BD$ то есть можно не рассматривать вариант когда паук ползет в сторону $DD_{1}$ , рассмотрим вариант когда он ползет к стороне $AA_{1}$ , когда паук ползет к вершине $A_{1}- >B$ , очевидно что расстояние равно $frac{1}{2}+sqrt{2}=frac{1+sqrt{8}}{2}$ , пусть есть некая точка $x$ , которая принадлежит $AA_{1}$ , по неравенству треугольников $frac{1}{2} + A_{1}x > Nx$
выразим расстояние , когда паук ползет через точку $x$
она равна $A_{1}x=y sqrt{y^2+frac{1}{2}^2 } + sqrt{ (1-y)^2+1}$
получили функцию $frac{sqrt{ 4y^2+1}}{2 } + sqrt{ 2-2y+y^2 }$
которая имеет критическую точку $y=frac{1}{3}$ (находится через производную ) , минимум $f(frac{1}{3}) = frac{sqrt{13}}{2}$ , что меньше выше сказанного расстояния
Ответ Паук должен с начало придти к $A_{1}x$ , потом к $B$ это есть кратчайшее расстояние