Помогите решить задачу по геометрии.
Из одной точки C проведены наклонные CA и CB к плоскости гамма под углом альфа. Угол между наклонными равен бета. Найти синус угла между плоскостями гамма и ABC.
(с рисунком и объяснениями).

Дано: (СА; γ)=(СВ; γ)=α; АСВ=β
Найти: sin(ABC; γ)
Решение: Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно провести в каждойплоскости перпендикуляр к линии пересечения этих плоскостей, угол междуэтим перпендикулярами и будет углом между плоскостями.
Проведем СН перпендикулярно плоскости γ и СМ - биссектрису угла АСВ. Так как углы наклона СА и СВ к плоскости γ равны, то СА=СВ, следовательно треугольник АСВ равнобедренный и СМ является также медианой и высотой. Аналогично, проекции равных отрезков на плоскость γ равны между собой НА=НВ, а НМ является биссектрисой, медианой и высотой в равнобедренном треугольнике АНВ.
Распишем искомый синус угла:
$sin(ABC; gamma)=sin CMH= frac{CH}{CM}$
Чтобы найти СН сделаем планиметрическую картинку треугольника АСН и запишем синус известного угла CAH:
$sin CAH=sin alpha = frac{CH}{AC} Rightarrow CH=ACsin alpha$
Чтобы найти СМ аналогично изобразим картинку треугольника АСВ. Так как СМ - биссектриса, то угол АСМ равен (β/2). Рассмотрим треугольник АСМ:
$cos ACM=cos frac{ beta }{2}= frac{CM}{AC} Rightarrow CM=ACcosfrac{ beta }{2}$
Подставляем найденные величины в формулу для синуса искомого угла:
$sin(ABC; gamma)= cfrac{CH}{CM} = cfrac{ACsin alpha}{ACcosfrac{ beta }{2}} =cfrac{sin alpha}{cosfrac{ beta }{2}}$
Ответ: sin(α)/cos(β/2)

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы