Решите тригонометрическое уравнение

Дополнительные формулы:
$sin 2x=2sin xcos x cos^2x=1-sin^2x$
***************************************
$4cos^3x+3 sqrt{2} sin 2x=8cos x 4cos^3x+3sqrt{2}cdot 2sin xcos x-8cos x=0 2cos x(2cos^2x+3sqrt{2}sin x-4)=0 2cos x(2(1-sin^2x)+3sqrt{2}sin x-4)=0 2cos x(2-2sin^2x+3sqrt{2}sin x-4)=0 2cos x(-2sin^2 x+3sqrt{2}sin x-2)=0$
Произведение равно нулю
$cos x=0 x_1= frac{pi}{2} +pi n,n in Z -2sin^2x+3sqrt{2}sin x-2=0|cdot (-1) 2sin^2x-3sqrt{2}sin x+2=0$

Пусть $sin x=t,,(|t| leq 1)$ , тогда получаем
$2t^2-3sqrt{2}t+2=0$
находим дискрминант
$D=b^2-4ac=(-3sqrt{2})^2-4cdot 2cdot 2=18-16=2$
$t_1= frac{3sqrt{2}-sqrt{2}}{2cdot 2}= frac{sqrt{2}}{2}$
$t_2= frac{3sqrt{2}+sqrt{2}}{2cdot 2} =sqrt{2}$ - не удовлетворяет условие при $(|t| leq 1)$

Возвращаемся к замене
$sin x= frac{sqrt{2}}{2} x=(-1)^kcdot arcsinfrac{sqrt{2}}{2}+pi k,k in Z x_2=(-1)^kcdot frac{pi}{4} +pi k,k in Z$

Отбор корней

Для корня $x=frac{pi}{2} +pi n$
$n=0;,,x=frac{pi}{2} n=1;,,,,x=frac{3pi}{2} n=2;,,,x=frac{5pi}{2} n=-1;,,, x=-frac{pi}{2} n=-2;,,, x=-frac{3pi}{2} n=-3;,,, x=-frac{5pi}{2} n=-4;,,,,,, x=-frac{7pi}{2}$

Для корня $x=(-1)^kcdot frac{pi}{4} +pi k$
$k=0;,,, x=frac{pi}{4} k=1;,,, x=frac{3pi}{4} k=2;,,,x=frac{9pi}{4} k=3;,,,x=frac{11pi}{4} k=-1;,,,, x=-frac{5pi}{4} k=-2;,,,x=-frac{7pi}{4} k=-3;,,, x=-frac{13pi}{4} k=-4;,,, x=-frac{15pi}{4}$