Опубликовано 10.06.2017 по предмету Математика от Гость >> <<

Нужно исследовать функцию и построить график
y=(x-3)^2/4(x-1)

Ответ оставил Гость

f(x) = (3-x)² / (4*(x - 1))
Область определения функции. Точки, в которых функция точно не определена:x1 = 1
Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение:  (3 - x)² = 0
Точки пересечения с осью X:Аналитическое решение x1 =3
Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в (3 - x)^2/(4*(x - 1)). 2(3 - 0)--------4*(-1) Результат:f(0) = -9/4Точка:(0, -9/4)
Экстремумы функции  Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd--(f(x)) = 0dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d--(f(x)) =dx 21 (3 - x)---------*(-6 + 2*x) - ---------- = 04*(x - 1) 24*(x - 1) Решаем это уравнение Корни этого уравнения x1 = -1 x2 = 3 Значит экстремумы в точках:(-1, -2)(3, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 3 Максимумы функции в точках:x2 = -1 Убывает на промежутках(-oo, -1] U [3, oo)Возрастает на промежутках[-1, 3]
Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2d---(f(x)) = 02dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2d---(f(x)) =2dx 2(-3 + x) 2*(-3 + x)1 + --------- - ----------2 -1 + x(-1 + x)-------------------------- = 02*(-1 + x) Решаем это уравнение Решения не найдены-перегибов у функции нет 
Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 1 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 2(3 - x)lim --------- = -oox->-oo4*(x - 1) значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 2(3 - x)lim --------- = oox->oo4*(x - 1) значит,горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3 - x)^2/(4*(x - 1)), делённой на x при x->+oo и x->-oo 2 1(3 - x) *---------4*(x - 1)lim ------------------ = 1/4x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева: xy = -4 2 1(3 - x) *---------4*(x - 1)lim ------------------ = 1/4x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа: xy = -4
Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 2 2(3 - x) (3 + x)------------ = ------------1 1(4*(x - 1)) (-4 + -4*x) - Нет 2 2(3 - x) (3 + x)------------ = - ------------1 1(4*(x - 1)) (-4 + -4*x) - Нет, значит, функция не является ни чётной ни нечётной