Проволока длиной 1 метр должна быть поделена на 2 части. Из первой части сделают круг, из второй квадрат. Какую длину должны иметь первая и вторая часть проволоки, чтобы сумма площадей круга и квадрата была максимальной?

Можно решать графически, нарисовав график зависимости суммарной площади от периметра одной из фигур (например, круга).
Периметр фигуры- это и есть длина куска проволоки, взятой для изготовления этой фигуры. Длину для удобства будем выражать в сантиметрах (т.е. длина проволоки будет 100см).

Обозначим периметр круга как x (икс)
Тогда периметр квадрата будет равен оставшемуся куску проволоки, то есть: 100-x

Периметр круга равен два пи, умножить на радиус ( $P=2pi r$ ).
Отсюда, радиус равен: $r=frac{P}{2pi}=frac{x}{2pi}$
Площадь круга равна пи умножить на радиус в квадрате: $S=pi r^2=pi(frac{x}{2pi})^2=pifrac{x^2}{4pi^2}=frac{x^2}{4pi}$

Периметр квадрата равен четырём его сторонам ( $P=4a$ ).
Отсюда, сторона равна: $a=frac{P}{4}=frac{100-x}{4}$
Площадь квадрата равна: $S=a^2=(frac{100-x}{4})^2=frac{10000-200x+x^2}{16}=x^2-12,5x+625$

Теперь, запишем чему равна сумма площадей круга и квадрата:
$S=frac{x^2}{4pi}+x^2-12,5x+625=(1+frac{1}{4pi})x^2-12,5x+625$

Как видим, получилось уравнение параболы, у которой ветви направлены вверх (так как коэффициент при икс квадрат- положительный).
Если поразмыслить, то мы поймём, что у такой параболы максимальное значение y для любого отрезка по x будет на одном из концов этого отрезка (на том, который дальше от вершины параболы).
Подтвердим это, построив график функции $y=(1+frac{1}{4pi})x^2-12,5x+625$
Для начала, вычислим несколько значений функции при разных икс:
x    y
0    795,8
10    650,8
20    534,3
30    446,2
40    386,5
50    355,2
60    352,3
70    377,9
80    431,8
90    514,2
100    625,0
Затем, по этим точкам построим график (смотри приложенный рисунок).

По графику видно, что максимальное значение суммарной площади получается при x=100 (хотя, это видно и без графика, по вычисленным значениям функции).
Значит, длина первой части проволоки (для изготовления круга) нужна 100 сантиметров (т.е. 1 метр), а длина второй части- для квадрата получится равной: 100-x = 100-100 = 0см.
То есть максимальная площадь получится, если квадрат вообще не делать, а всю проволоку пустить на изготовление круга.