$frac{(x^{2}+1)^{2}}{x(x+1)^{2}} = frac{625}{112}$
Как решить теорема Безу не помогает.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$ , получим
$dfrac{(x+frac1x)^2}{(sqrt x+frac1{sqrt x})^2}=dfrac{625}{112}$
(Понятно, что x > 0)

Сделаем замену $t=sqrt x+frac1{sqrt{x}}>0$ . Подмечая, что $t^2=x+2+frac 1x$ , легко выразить всю левую часть уравнения в терминах t:

$dfrac{(t^2-2)^2}{t^2}=dfrac{625}{112} left(t-dfrac2tright)^2=dfrac{625}{112} t-dfrac2t=pmsqrt{dfrac{625}{112}}=pmdfrac{25}{4sqrt7}$

После домножения на t и переноса всего в одну часть будем иметь 2 уравнения
$t^2mpdfrac{25}{4sqrt7}t-2=0$

Аккуратно считаем дискриминант:
$D=dfrac{625}{112}+8=dfrac{1521}{112}=dfrac{39^2}{112}$

Тогда все корни этих уравнений задаются выражением (плюсы-минусы выбираются независимо)
$dfrac12left(pmdfrac{25}{4sqrt7}pmdfrac{39}{4sqrt{7}}right)$

Положительные корни это:
$t_1=dfrac{14}{8sqrt7}=dfrac{sqrt7}4 textless 1 t_2=dfrac{64}{8sqrt7}=dfrac{8}{sqrt7}$

Первый корень не даст вещественных иксов: уравнения вида u+1/u=a не имеют положительных решений при a<1. Раскручиваем второй корень:
$sqrt x+dfrac1{sqrt x}=dfrac8{sqrt7}$

Два корня можно либо угадать сразу, либо сделать замену, обозначив корень новой буквой. Мне удобней возвести в квадрат и уже потом решать.

$x+2+dfrac1x=dfrac{64}7 x+dfrac1x=dfrac{50}7=7dfrac17 boxed{xinleftlbrace7;dfrac17rightrbrace}$