Пусть альфа и бета решение уравнения x^2-x+4=0
Тогда бета/альфа+альфа/бета=?

По теореме Виета:
$displaystyle alpha + beta=-b;$
$displaystyle alphabeta=c.$

Разделим первую строчку на вторую:
$displaystyle frac{alpha + beta}{alphabeta}=-frac{b}{c};$
$displaystyle frac{alpha}{alphabeta}+frac{beta}{alphabeta}=-frac{b}{c};$
$displaystyle frac{1}{beta}+frac{1}{alpha}=-frac{b}{c};$

Последнее равенство умножим на $displaystyle beta$ и отнимем единицу:
$displaystyle frac{beta}{alpha}=-frac{b}{c}beta-1;$

Отдельно то же самое равенство умножим на $displaystyle alpha$ и отнимем единицу:
$displaystyle frac{alpha}{beta}=-frac{b}{c}alpha-1;$

Сложим последние два равенства:
$displaystyle frac{beta}{alpha}+frac{alpha}{beta}=-frac{b}{c}beta-1-frac{b}{c}alpha-1;$

В правой части вынесем $displaystyle -frac{b}{c}$ за скобки:
$displaystyle frac{beta}{alpha}+frac{alpha}{beta}=-frac{b}{c}left(alpha+betaright)-2;$

А по уже приведённой теореме Виета, $displaystyle alpha+beta=-b$ :
$displaystyle frac{beta}{alpha}+frac{alpha}{beta}=-frac{b}{c}left(-bright)-2;$
$displaystyle frac{beta}{alpha}+frac{alpha}{beta}=boxed{frac{b^2}{c}-2}phantom{.}.$

Обратим внимание, что приведённое равенство справедливо для любого квадратного уравнения вида $displaystyle ax^2+bx+c=0$ , где $displaystyle alpha$ и $displaystyle beta$ — его корни.

Наконец, подставим в полученное равенство значения $displaystyle a$ , $displaystyle b$ и $displaystyle c$ из данного уравнения:
$displaystyle a=1;$
$displaystyle b=-1;$
$displaystyle c=4;$
$displaystyle frac{beta}{alpha}+frac{alpha}{beta}=frac{b^2}{c}-2=frac{left(-1right)^2}{4}-2=frac{1}{4}-frac{8}{4}=boxed{-frac{7}{4}}phantom{.}.$

Обратите внимание, однако, что для нахождения величины $displaystyle frac{beta}{alpha}+frac{alpha}{beta}$ решать исходное уравнение (находить численные значения $displaystyle alpha$ и $displaystyle beta$ ) не пришлось вовсе, что весьма интересно.