Помогите решить определенный интеграл
$intlimits^ pi _0 {(1-8 x^{2} )cos4x} , dx$
вместо пи,там 2пи

Вычисляем бесконечный интеграл:
$int left(1-8x^2right)cos left(4xright)dx$
Интегрируем по частям:
$u=left(1-8x^2right),::u=-16x,::v=cos left(4xright),::v=frac{sin left(4xright)}{4}$
Получаем интеграл:
$=left(1-8x^2right)frac{sin left(4xright)}{4}-int left(-16xright)frac{sin left(4xright)}{4}dx$
$=frac{left(1-8x^2right)sin left(4xright)}{4}-int :-4xsin left(4xright)dx$
Рассмотрим интеграл:
$int :-4xsin left(4xright)dx=-4int :xsin left(4xright)dx$
Применим интегрирования по частям:
$u=x,::u=1,::v=sin left(4xright),::v=-frac{cos left(4xright)}{4}$
Получаем:
$=-4left(xleft(-frac{cos left(4xright)}{4}right)-int :1left(-frac{cos left(4xright)}{4}right)dxright)$
$=-4left(-frac{xcos left(4xright)}{4}-int :-frac{cos left(4xright)}{4}dxright)$
$=-4left(-frac{xcos left(4xright)}{4}-left(-frac{1}{4}int cos left(4xright)dxright)right)$
Делаем замену:
$u=4x:quad quad du=4dx,:quad :dx=frac{1}{4}du$
Получаем:
$=-4left(-frac{xcos left(4xright)}{4}-left(-frac{1}{4}int cos left(uright)frac{1}{4}duright)right)$
$=-4left(-frac{xcos left(4xright)}{4}-left(-frac{1}{4}frac{1}{4}int cos left(uright)duright)right)$
$=-4left(-frac{xcos left(4xright)}{4}-left(-frac{1}{4}frac{1}{4}sin left(uright)right)right)$
Делаем обратную замену:
$:u=4x$
Получаем:
$=-4left(-frac{xcos left(4xright)}{4}-left(-frac{1}{4}frac{1}{4}sin left(4xright)right)right)=4left(frac{sin left(4xright)}{16}-frac{xcos left(4xright)}{4}right)$

Получаем общее решение интеграла:
$=frac{left(1-8x^2right)sin left(4xright)}{4}-left(-4left(frac{sin left(4xright)}{16}-frac{xcos left(4xright)}{4}right)right)$
$=frac{left(1-8x^2right)sin left(4xright)}{4}+4left(frac{sin left(4xright)}{16}-frac{xcos left(4xright)}{4}right)$
Теперь подставляем границы интегрирования в полученный интеграл:
$int _0^{2pi }left(1-8x^2right)cos left(4xright)dx=-2pi -0=-2pi$