Объясните пожалуйста поподробней, куда после нахождение производной делось -2√3π+6 и на этапе нахождения нулей производной, как из -12sinx+6√3=0 получилось sinx=√3/2 и как из этого получилось x=π/3.

Известно, что производная любой постоянной величины (константы) равна 0.
Константа - это число. С = 0. Но ведь $pi approx 3,14$ -это число,поэтому и $-2sqrt3pi$ - число.

$y=(12cosx+6sqrt3x-2sqrt3pi+6)==(12cosx)+6sqrt3(x)-(2sqrt3pi )+(6)==12(-sinx)+6sqrt3cdot 1-0+0=-12sinx+6sqrt3$

Теперь приравняем к нулю производную:

$-12sinx+6sqrt3=0-12sinx=-6sqrt3sinx=frac{-6sqrt3}{-12}=frac{6sqrt3}{6cdot 2}=frac{sqrt3}{2}$

Получили тригонометрическое уравнение, решение которого находится по
известной формуле:

$x=(-1)^{n}arcsinfrac{sqrt3}{2}+pi n=(-1)^{n}frac{pi}{3}+pi n,; nin Z$

Так как в системе задано, что $0 leq x leq frac{pi}{2}$ , то есть угол изменяется в 1 четверти , то из множества полученных углов выбираем тот, который принадлежит 1 четверти, а это $x=frac{pi}{3}$ .