Дан прямоугольный треугольник abc угол с=90 гипотенуза ab равна 16 а площадь 32 корень из 3 найдите острые углы треугольника.

$ABC$ - прямоугольный треугольник
$textless C=90^circ$
$S_{ABC} =32 sqrt{3}$
$AB=16$
$CH$ - высота, опущенная на гипотенузу
$S_{ABC} = frac{1}{2} CH*AB$

$frac{1}{2} CH*16=32 sqrt{3}$

$8CH=32 sqrt{3}$

$CH=4 sqrt{3}$
Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между длинами проекций катетов на гипотенузу, т. е.
$CH^2=AH*BH$

пусть $AH=x$ , тогда $BH=16-x$

$(4 sqrt{3} )^2=x*(16-x)$

$48=16x-x^2$

$x^2-16x+48=0$
$D=256-192=64$
$x_1=12$ $16-12=4$
$x_2=4$ $16-4=12$

$AH=4$
$HB=12$

$CHB$ - прямоугольный
$frac{CH}{HB} =tg textless B$

$frac{4 sqrt{3} }{12} =tg textless B$

$tg textless B= frac{ sqrt{3} }{3}$

$textless B=30^circ$

$textless A=180^circ -(90^circ +30^circ )=60^circ$

Ответ: $30^circ$ ; $60^circ$