Найти частное решение линейного диффура второго порядка, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Нужно подробное объяснение.
y+2y+y=x²+3x, y(0)=0, y(0)=-1

y+2y+y=x²+3x
1) Решаем однородное y+2y+y=0. Для него характеристическое уравнение
β²+2β+1 = 0
(β+1)² = 0
β = -1 - корень кратности 2.
Фундаментальная система решений: $e^{-x}, xe^{-x}$
Решение $y=c_1e^{-x}+c_2 xe^{-x}=e^{-x}(c_1+xc_2)$
2) Подставим это решение в исходное уравнение. Для этого найдем нужные производные, представив полученное решение как функцию
$y(x)=e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]$
$y(x)=-e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]+e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]= =-e^{-x}[c_1(x)+xc_2(x)]+e^{-x}[c_1(x)+c_2(x)+xc_2(x)]= = -c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}= textgreater = textgreater c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}=0 y(x)=-c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_2(x)e^{-x}$
$y(x)=-c_1(x)e^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}-c_2(x)e^{-x} -c_2(x)xe^{-x}- - c_2(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}$
Подставим y, y и y в исходное уравнение:
$-c_1(x)e^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}-c_2(x)e^{-x} -c_2(x)xe^{-x}- - c_2(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x} +2(-c_1(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}+c_2(x)e^{-x})+ +c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}=x^2+3x$
Далее всё это упростим:
$-c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}=x^2+3x$
Получим систему уравнений:
$begin{cases} -c_1(x)e^{-x}+c_2(x)e^{-x}-c_2(x)xe^{-x}=x^2+3x c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}=0 end{cases} begin{cases} c_1(x)+c_2(x)x=0 -c_1(x)+c_2(x)-c_2(x)x=(x^2+3x)e^x end{cases} begin{cases} c_2(x)=(x^2+3x)e^x c_1(x)=-(x^2+3x)xe^x end{cases}$
Находим $c_1$ и $c_2$
$c_1(x)=-int (x^2+3x)xe^x dx=-int (x^3+3x^2)d(e^x)= =-(x^3+3x^2)e^x+int e^x(3x^2+6x)dx=-(x^3+3x^2)e^x+ +(3x^2+6x)e^x - int e^x(6x+6)dx=e^x(-x^3+6x)-(6x+6)e^x++int 6e^xdx=(-x^3-6)e^x+6e^x+tilde{c_1}=-x^3e^x+tilde{c_1};$
$c_2(x)=int (x^2+3x)e^x dx=int (x^2+3x)d(e^x)= =(x^2+3x)e^x-int e^x(2x+3)dx=(x^2+3x)e^x- -(2x+3)e^x + int 2e^xdx=e^x(x^2+x-1)+tilde{c_2}.$
Подставим в найденное ранее решение однородного уравнения:
$y=(-x^3e^x+tilde{c_1})e^{-x}+(e^x(x^2+x-1)+tilde{c_2})xe^{-x}= =-x^3+tilde{c_1}e^{-x}+x^3+x^2-x+tilde{c_2}xe^{-x}= =tilde{c_1}e^{-x}+tilde{c_2}xe^{-x}+x^2-x.$
Осталось применить y(0)=0, y(0)=-1.
$y(0)=0 = textgreater tilde{c_1}=0 = textgreater y(x)= tilde{c_2}xe^{-x}+x^2-x y(x)= tilde{c_2}e^{-x}-tilde{c_2}xe^{-x}+2x-1 y(0)=-1= textgreater -1=tilde{c_2}+tilde{c_2}e-2-1 = textgreater tilde{c_2}= frac{2}{e+1}$
Собираем окончательное решение:
$y= frac{2}{e+1} xe^{-x}+x^2-x$

Ответ: $y= frac{2}{e+1} xe^{-x}+x^2-x$