Для кожного натурального числа n знайдiть усi такi пари натуральних чисел x і y, що Xn – yn=2015 (n- степень)

Для $n=1$ , $x-y=2015$
Решения $(x;2015-x)$

Для $n=2 2015 = 5*13*31*1$
Совокупность систем , только
$left { {{ x-y=1} atop {x+y=5*13*31}} right. left { {{ x-y=5} atop { x+y= 13*31}} right. left { {{x-y=13} atop { x+y = 5*31}} right. left { {{ x-y=31} atop { x+y=13*5}} right.$
Решая , получаем решений
$(1008;1007) cup (204;199) cup (84;71) cup (48;17)$

Для $n= 3$
$(x-y)(x^2+xy+y^2) = 5*13*31 left { {{ x-y = 1} atop { x^2+xy+y^2 = 5*13*31}} right. left { {{ x-y=5} atop { x^2+xy+y^2 = 13*31}} right. left { {{x-y=13} atop {x^2+xy+y^2 = 5*31}} right. left { {{ x-y = 31} atop { x^2+y^2+xy = 5*13}} right.$

Получаем решения
$x= 14 ; y= 9$

Для $n geq 4$ , попробуем обосновать , так
$(x-y)(x^3+xy^2+x^2y+y^3) = 5*13*31 x-y=1 (2y+1)(2y^2+2y+1) = 2015 x-y=5 (2y+5)(2y^2+10y+25) =13*31 x-y=13 (2y+13)(2y^2+26y+169) = 5*31 x-y=31 (2y+31)(2y^2+62y+961)=5*13$

Так же и для других сочетаний , и мы можем легко убедиться что нет целых решений , решая уравнения
В уравнений
$x^5-y^5 = (x-y)(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)=1*13*5*31 x^6-y^6 = (x-y)(x*(x(x+y)(x^2+y^2)+y^4)+y^5) = 1*13*5*31 ...$

Можно итерационно заметить что
Уравнения , при $n=2x+1$
$frac{x^n-y^n}{x-y} = 5*31$ решения в действительных числа

А при меньших числах , не имеет в целых числах