Здравствуйте. помогите пожалуйста найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию (1+x^2)y+y=y^2arctgx y(0)=1

Это уравнение является уравнением Бернулли.
Очевидно, что функция $y = 0$ является решением уравнения. Разделим обе части на $y^2$ , предполагая, что $y neq 0$ :
$(1+x^2) frac{y}{y^2} + frac{1}{y} = arctgx$ .
Сделаем замену $frac{1}{y} = z$ , тогда $z = -frac{y}{y^2}$ и уравнение принимает вид
$-(1+x^2)z + z = arctgx$ .
Получили линейное неоднородное уравнение. Решим его методом вариации постоянной. Для этого найдем решение соответствующего однородного уравнения:
$-(1+x^2)z + z = 0 Leftrightarrow (1+x^2)z - z = 0$ .
Это уравнение с разделяющимися переменными.
$(1+x^2) frac{dz}{dx} - z = 0 frac{dz}{z} = frac{dx}{1+x^2} int frac{dz}{z} = int frac{dx}{1+x^2} lnz = arctgx + C z = Ce^{arctgx}$ .
Заменим постоянную C новой неизвестной функцией C(x) и в таком виде будем искать решение неоднородного уравнения:
$z = C(x)e^{arctgx} (1+x^2)(C(x)e^{arctgx}) + C(x)e^{arctgx} = -arctgx (1+x^2)C(x)e^{arctgx} + C(x)e^{arctgx} - C(x)e^{arctgx} = -arctgx (1+x^2)C(x)e^{arctgx} = -arctgx C(x)=-frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2} C(x) = -intfrac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx$ .
Сделаем замену в интеграле:
$t = arctgx C(x) =-intfrac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx = -int te^{-t}dt$ .
Интеграл легко берется по частям (оставляю на вас):
$C(x) = (t+1)e^{-t} + C = (arctgx+1)e^{-arctgx} + C$ , где C - произвольная постоянная.
Таким образом,
$z = C(x)e^{arctgx} = ((arctgx+1)e^{-arctgx} + C)e^{arctgx} = Ce^{arctgx}$ $+arctgx + 1$ .
Вспоминаем, что $frac{1}{y} = z$ , тогда
$y = frac{1}{Ce^{arctgx}+arctgx+1}$ - общее решение.
Теперь воспользуемся начальным условием y(0) = 1:
$frac{1}{Ce^{arctgx} + arctgx + 1} = 1 frac{1}{Ce^{arctg0} + arctg0 + 1} = 1 C = 0$ .
Значит, искомая функция есть
$y = frac{1}{arctgx + 1}$ .