В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20 см. Найти площадь треугольника и длину вписанной полуокружности. Если можно,то по подробнее)

ABC-треугольник;
Угол В - прямой;
O - центр окружности;
AO=15, OC=20.
D и E - точки касания окружности к катетам окружности AB и BC;
1) OE = DO =R ;
2) ∠BDO = 90° ;
∠BEO = 90°;
∠DBE = 90° => Четырехугольник DBEO - квадрат;
3) ΔADO и ΔOEC - подобны.
Из подобия треугольников следует:
$frac{AD}{AO}= frac{OE}{OC}; AD= sqrt{AO^2-OD^2}= sqrt{225-R^2}; frac{ sqrt{225-R^2} }{15}= frac{R}{20}; R=12AC; AO+OC=15+20=35AD; 35AD= sqrt{225-144}=9AB; 9AB=DB+AD=12+9=21; 21BC^2=AC^2-AB^2; 21BC^2=1225-441=784BC; 28S= AB *frac{BC}{2}= frac{21*28}{2}=294; S=294$
Найдем радиус:
$frac{sqrt{225-R^2}}{15}= frac{R}{20}; 15R=20(sqrt{225-R^2}); 15^2R^2=20^2(sqrt{225-R^2})^2; 225R^2=400(225-R^2); 225R^2=90000-400R^2; 225R^2+400R^2=90000; 625R^2=90000; R^2=90000:625; R^2=144; R_{1,2}=+-12;$
Найдем длину вписанной полуокружности:
$R=12 = textgreater L= frac{ Rnpi }{180}; L= frac{12*90 pi }{180}= frac{12 pi }{2} =6 pi$
Ответ: $6 pi$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы