Исследовать ряд на сходимость:
∑_(n=1)^∞▒(n+1) ×〖0.8〗^n

Если я правильно понял - это наш ряд: $Sigma_{n=1}^infty(n+1)(0.8)^n$ .
Для проверки сходимости подойдёт радикальный признак Коши:
---
Дано $Sigma_{n=1}^infty a_n$ .
Находим $limsup_{ntoinfty}sqrt[n]{a_n}=q$ .
Если $q textgreater 1$ - ряд расходится
если $q textless 1$ - ряд сходится
если $q=1$ - ответа нет (может быть оба варианта для разных рядов, потому ищут другой способ)
---

Решаем:
$Sigma_{n=1}^infty(n+1)(0.8)^n sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=sqrt[n]{n+1}cdotsqrt[n]{(0.8)^n} lim_{ntoinfty}sqrt[n]{n+1}=1, lim_{ntoinfty}sqrt[n]{(0.8)^n}=0.8 Rightarrow lim_{ntoinfty}sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=1cdot0.8=0.8$

Последнее равенство следует из арифметики пределов: если пределы существуют, то предел умножения равен умножению пределов.

$lim_{ntoinfty}sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=0.8 Rightarrow limsup_{ntoinfty}sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=0.8$
Предел последовательности существует, значит он равен своему верхнему и нижнему пределу.

Получили $0.8 textless 1 Rightarrow Sigma_{n=1}^infty(n+1)(0.8)^n<infty$
Ряд сходится.