Составьте уравнение касательной к графику функции y=-cos(5x+π/4)-4, в точке абсциссой x0=0

Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y=f(x) в точке с координатами (x0,y0) имеет вид:
$Y- y_{0}=f(x)*(X- x_{0} )$ , где X,Y - текущие координаты касательной (это уравнение следует из уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через некоторую точку).

Абсцисса точки, через которую проходит касательная, нам дана. Найдём ординату этой точки:
$y_{0} =-cos(5* x_{0} + frac{ pi }{4} )-4=-cos(5*0 + frac{ pi }{4} )-4=- frac{ sqrt{2} }{2}-4$ .

Теперь найдём первую производную данной функции в точке x0:
$y =(-cos(5x + frac{ pi }{4} )-4)=-(cos(5x+frac{ pi }{4}))=5*sin(5x+frac{ pi }{4})$
$y(x_{0})=5*sin(5* x_{0} +frac{ pi }{4})=5*sin(5*0+frac{ pi }{4})=5 *frac{ sqrt{2} }{2}$

Подставим x0, y0, y(x0) в $Y- y_{0}=f(x)*(X- x_{0} )$ :
$Y-(- frac{ sqrt{2} }{2}-4 )=(5 *frac{ sqrt{2} }{2})*(X-0 ) Y+4=- frac{ sqrt{2} }{2}+5*X *frac{ sqrt{2} }{2} Y+4=frac{ sqrt{2} }{2}*(5X-1)$

Это и будет уравнение касательной к графику данной функции в требуемой точке.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы