Коля стёр все цифры в примере на доске и написал вместо них буквы. Вместо одинаковых цифр он написал одинаковые буквы, а вместо разных цифр - разные буквы. Какие цифры были на доске? Пример в столбик АВ+ВЕ+ЕА=АВЕ.

Перепишем этот пример:
$10a+b+10b+e+10e+a=100a+10b+e89a=b+10e$
Справа стоит двузначное число ( $10eleq90,,bleq9Rightarrow10e+bleq99$ ), значит 89a - двузначное число, отсюда $a=1$ (при $ageq2$ : $89ageq 178$ - число уже не двузначное. Получили:
$10e+b=89$
Из того, что e и b - цифры получаем:
$e=8b=9$
Итог:
$a=1,,b=9,,e=819+98+81=198$