Мама каждый день выдает Саше на десерт по одному фрукту. У нее есть три одинаковых яблока, пять одинаковых груш, два одинаковых персика и один апельсин. Сколькими способами она может выдать эти фрукты за 11 дней?

*** подробное разжёвывание для тех, кто тоже не понимает

В большом классе задач по комбинаторике самый быстрый путь подсчёта осуществляется специальным приёмом, заключающимся в том, что мы «метим» (нумеруем, делаем различимыми) неразличимые объекты, делая этой операцией их различимыми. При этом оказывается, что в таком предварительном подсчёте числе комбинаций различаются наборы [апельсины №1 и №2] и [апельсины №2 и №1], поэтому конечных комбинаций нужно брать в два раза меньше, чем предварительных.

Если мы «помечаем» не два, а три неразличимых объекта и начинаем их различать на этапе промежуточных вычислений, то предварительный подсчёт числа комбинаций оказывается в $6$ раз больше, поскольку мы различаем $6$ комбинаций ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA. Поэтому для получения конечного числа комбинаций нужно промежуточный вариант разделить на $6=3!$

При любом другом числе $n$ условно-различимых объектов нужно делить промежуточное число на $n!$

$3$ яблока $+ 5$ груш $+ 2$ персика $+$ апельсин $= 11$ объектов.

Итак, всего у мамы есть 11 объектов. Пометим все изначально неразличимые объекты, так что получится первое яблоко, второе яблоко, третье яблоко, первая груша, вторая груша и т.п.

Всего все такие условно-различимые объекты можно переставить $(11!)$ способами.

НО ! Среди них не различимы $3$ яблока, а значит $(3!)$ способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на $(3!) .$

НО ! Среди них не различимы $5$ груш, а значит $(5!)$ способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на $(5!) .$

НО ! Среди них не различимы $2$ персика, а значит $2!=2$ способа всех перестановок не различимы и нужно разделить на $2 .$

Всего, с учётом реальной неразличимости, поучим, что число вариантов $N$ равно:

$N = frac{11!}{5!3!2} = frac{ 11 cdot 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 }{3!2} = 11 cdot 10 cdot 9 cdot 4 cdot 7 = 27 720$

О т в е т : $27 720$ вариантов.

Все эти $27 720$ теоретически, конечно, можно было бы выписать, чтобы проиллюстрировать всю картину вариантов, но это заняло бы очень большой объём трудно воспринимаемого текста, поэтому, если уж и попытаться перечислить все возможные варианты, то тогда лучше составить полностью аналогичную модель на меньших числах. Возьмём не $3 ,$ а $2$ яблока, не $5 ,$ а $4$ груши, избавимся от персиков и оставим апельсин.

Тогда по такой же формуле, найдём, что общее количество вариантов их последовательной раскладки будет: $N_1 = frac{7!}{4!2} = frac{ 7 cdot 6 cdot 5 }{2} = 7 cdot 3 cdot 5 = 105$ ;

И Л Л Ю С Т Р А Ц И Я . В А Р И А Н Т О В . раскладки двух яблок, четырёх груш и апельсина:

Далее: Я – яблоко, г – груша и @ – апельсин.
При помощи функции поиска в браузере (Ctrl+F) можно проверить, что любая комбинация встречается всего один раз, а любая комбинация, которую можно было бы придумать, уже записана в перечне комбинаций.

1. ЯЯгггг@
2. [email protected]
3. [email protected]
4. [email protected]
5. [email protected]

6. ЯгЯггг@
7. [email protected]
8. [email protected]
9. [email protected]

10. ЯггЯгг@
11. [email protected]
12. [email protected]

13. ЯгггЯг@
14. [email protected]

15. ЯггггЯ@
16. [email protected]

17. [email protected]
18. [email protected]

19. [email protected]
20. [email protected]
21. [email protected]

22. [email protected]
23. [email protected]
24. [email protected]
25. [email protected]

26. [email protected]
27. [email protected]
28. [email protected]
29. [email protected]
30. [email protected]

31. гЯЯггг@
32. [email protected]
33. [email protected]
34. [email protected]

35. гЯгЯгг@
36. [email protected]
37. [email protected]

38. гЯггЯг@
39. [email protected]

40. гЯгггЯ@
41. [email protected]

42. [email protected]
43. [email protected]

44. [email protected]
45. [email protected]
46. [email protected]

47. [email protected]
48. [email protected]
49. [email protected]
50. [email protected]

51. ггЯЯгг@
52. [email protected]
53. [email protected]

54. ггЯгЯг@
55. [email protected]

56. ггЯггЯ@
57. [email protected]

58. [email protected]
59. [email protected]

60. [email protected]
61. [email protected]
62. [email protected]

63. гггЯЯг@
64. [email protected]

65. гггЯгЯ@
66. [email protected]

67. [email protected]
68. [email protected]

69. ггггЯЯ@
70. [email protected]
71. [email protected]

72. [email protected]
73. [email protected]
74. [email protected]

75. [email protected]
76. [email protected]
77. [email protected]

78. [email protected]
79. [email protected]
80. [email protected]

81. [email protected]
82. [email protected]
83. [email protected]
84. [email protected]

85. [email protected]
86. [email protected]
87. [email protected]

88. [email protected]
89. [email protected]
90. [email protected]

91. @ЯЯгггг
92. @ЯгЯггг
93. @ЯггЯгг
94. @ЯгггЯг
95. @ЯггггЯ

96. @гЯЯггг
97. @гЯгЯгг
98. @гЯггЯг
99. @гЯгггЯ

100. @ггЯЯгг
101. @ггЯгЯг
102. @ггЯггЯ

103. @гггЯЯг
104. @гггЯгЯ
105. @ггггЯЯ