Когда солдаты строились в колонну по 4, по 5 или по 6 человек, один человек оставался лишним. А когда они построились по 7 человек, то лишних не осталось. Какое наименьшее количество солдат могло быть на построении.

Прикажем одному солдату выйти из строя! Тогда там останется некоторое количество, которое делится без остатка на 4, одновременно делится без остатка на 5 и одновременно делится без остатка на 6, а это означает, что оно должно делиться на наименьшее общее кратное $HOK (4,5,6) = 60 ,$

Значит искомое число солдат: $N = 60 k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

П е р в ы й . п у т ь . р е ш е н и я :

Пусть $k = 0 ,$ тогда $N = 60 cdot 0 + 1 = 1 ,$ но $1$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 1 ,$ тогда $N = 60 cdot 1 + 1 = 61 ,$ но $61$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 2 ,$ тогда $N = 60 cdot 2 + 1 = 121 ,$ но $121 = ( 7 cdot 17 + 2 )$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 3 ,$ тогда $N = 60 cdot 3 + 1 = 181 ,$ но $181 = ( 7 cdot 25 + 6 )$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 4 ,$ тогда $N = 60 cdot 4 + 1 = 241 ,$ но $241 = ( 7 cdot 34 + 3 )$ не делится на $7 ,$ а значит не подходит.

Пусть $k = 5 ,$ тогда $N = 60 cdot 5 + 1 = 301 ,$ и $301 = ( 7 cdot 43 )$ – делится на $7 ,$ а значит подходит !

И это минимальное число солдат: $N = 301 .$

В т о р о й . п у т ь . р е ш е н и я :

Как мы выяснили $N = 60 k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

Преобразуем $N = 56k + 4k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

И это число, с другой стороны кратно семи, т.е. $N = 56k + 4k + 1 = 7m ,$ где $k$ и $m$ – некоторые целые числа.

Итак: $56k + 4k + 1 = 7m$ ;

$4k + 1 = 7m - 7 cdot 8k$ ;

$4k + 1 = 7 ( m - 8k )$ – правая часть здесь кратна семи, а значит и левая кратная семи, т.е.:

$4k + 1 = 7 n ,$ где $k$ и $n$ – некоторые целые числа.

$frac{ 4k + 1 }{7} = n ,$ где $k$ и $n$ – некоторые целые числа.

что возможно при самом малом $k = 5 ,$ а значит:

$N = 60 k + 1 ,$ где $k = 5$ ;

$N = 60 cdot 5 + 1 = 301$ ;

Т р е т и й . п у т ь . р е ш е н и я :

Как мы выяснили $N = 60 k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

Преобразуем $N = 63k - 3k + 1 ,$ где $k$ – некоторое целое число.

И это число, с другой стороны кратно семи, т.е. $N = 63k - 3k + 1 = 7m ,$ где $k$ и $m$ – некоторые целые числа.

Итак: $63k - 3k + 1 = 7m$ ;

$1 - 3k = 7m - 7 cdot 9k$ ;

$3k - 1 = 7 cdot 9k - 7m$ ;

$3k - 1 = 7 ( 9k - m )$ – правая часть здесь кратна семи, а значит и левая кратная семи, т.е.:

$3k - 1 = 7 n ,$ где $k$ и $n$ – некоторые целые числа.

$frac{ 3k - 1 }{7} = n ,$ где $k$ и $n$ – некоторые целые числа.

что возможно при самом малом $k = 5 ,$ а значит:

$N = 60 k + 1 ,$ где $k = 5$ ;

$N = 60 cdot 5 + 1 = 301$ ;

О т в е т : $N = 301 .$