30 баллов!!! Найти области сходимости степенных рядов. С полным решением, пожалуйста..

По признаку Даламбера, ряд сходится, если
$lim_{n to infty} frac{a_{n+1}}{a_n} textless 1$
У нас
$lim_{n to infty} ( frac{5^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{(n+1)!} : frac{5^{n}*(x-2)^{n}}{n!})=$
$= lim_{n to infty} ( frac{5^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{(n+1)!} * frac{n!}{5^{n}*(x-2)^{n}})=$
$= lim_{n to infty} ( frac{5^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{5^{n}*(x-2)^{n}} * frac{n!}{(n+1)!})=lim_{n to infty} frac{5(x-2)}{n+1} textless 1$
Так как n стремится к oo, то дробь стремится к 0 при любом x.
Ответ: x ∈ (-oo; +oo)

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы