Доказать, что для любых натуральных n число (3^6n+3^5n+1+3^4n+1+3^3n) делится на 8.

Пусть $A_{n} triangleq$ " $3^{6n} + 3^{5n+1} + 3^{4n+1} + 3^{3n} = 8 * m, m in Z$ ".
$A_{1}$ верно, так как
$3^6 + 3^{5+1} + 3^{4+1} + 3^3 = 2*3^6 + 27*10 = 270 + 1458 = 1728 = 216*8$ .

Покажем, что $A_{n}$ => $A_{n+1}$ :
$x triangleq 3^{n}$ : $A_{n} =$ " $x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3 = 8m$ " = " $(x^2+x)^{3} = 8m$ ".
Так как $x^{2}+x in N$ ,
$A_{n} =$ " $(x^2+x)^{3} = (2p)^{3}, p in N$ "
$A_{n} =$ " $x^2+x = 2p, p in N$ "

$3^{6(n+1)} + 3^{5(n+1)+1} + 3^{4(n+1)+1} + 3^{3(n+1)} = 3^{6}x^{6} + 3^{6}x^{5} + 3^{5}x^{4} + 3^{3}x^{3}$
$3^{6}x^{6} + 3^{6}x^{5} + 3^{5}x^{4} + 3^{3}x^{3} = (3^{2}x^{2} + 3x)^{3} = 3^{3}(3x^{2}+x)^{3}$
$(3x^{2}+x)^{3} = 8m + (27-1)x^6 + (9-1)*3x^{5}+(3-1)*3x^{4}$
$(3x^{2}+x)^{3} = 8m + x^{4}(6+24x+26x^{2}) = 8m + x^4(2p*24 + 2x^2+6)$
Тогда $A_{n+1} =$ " $2x^2+6 = 8k, k in Z$ ".
$A_{n+1} =$ " $2*3^{2n}+6 = 8k, k in Z$ ".

Докажем $A_{n+1}$ :
Пусть $B_{m} triangleq 2*3^{2m}+6 = 8k, k in Z$
$B_{1}$ верно, так как
$2*3^{2}+6 = 24 = 8*3, 3 in Z$
Покажем, что из $B_{m}$ следует $B_{m+1}$ :
$B_{m+1}: 2*3^{2m+2}+6 = 2*3^{2m}*9 + 6 = 2*3^{2m} + 6 + 8*2*3^{2m}$
$= 8k + 8*2*3^{2m} = 8 * w, w in N$
Тогда $B_{m} Rightarrow B_{m+1}$ :
Таким образом, $B_{m}$ верно для всех натуральных m, следовательно $A_{n+1}$ истинно.
Тогда $A_{n} Rightarrow A_{n+1}$ , $A_{n}$ верно для всех натуральных n:
$3^{6n} + 3^{5n+1} + 3^{4n+1} + 3^{3n} = 8 * m, m in Z, forall n in N$ ,
ч. и т.д.