Помогите пожалуйста с интервалом монотонности функции. Решение уже начал , но правильно ли ? Что дальше делать , если правильно.
Если решать через дискриминант 3x^2+1=0 , то Д < 0 , а значит корней нет. И что делать?

Начиная с третьей строчки, в вашем предполагаемом решении содержится ошибка, вы некорректно привели всё к общему знаменателю.

Так что продолжим, начиная с ещё правильной второй строки вашего рассуждения.

Но! Следует сделать важно замечание, которое имеет очень серьёзные последствия для всего решения.

Область определения заданной функции вовсе не вся числовая ось, а только положительные числа, поскольку на отрицательных числах функция логарифма в действительных числах не определена.

Итак $D( f(x) ) equiv ( 0 ; +infty )$ ;

Далее, продолжаем ваше решение:

$f_x (x) = 3x^2 + frac{1}{x}$ ;

$f_x (x) = 0$ ;

$frac{ 3x^3 + 1 }{x} = 0$ ;

$x neq 0$ ;

$3x^3 + 1 = 0$ ;

$3x^3 = -1$ ;

$x^3 = -frac{1}{3}$ ;

$x = -frac{1}{ sqrt[3]{3} }$ ;

Или сразу можно записать в интервальном виде:

$3x^3 + 1 = ( x + frac{1}{ sqrt[3]{3} } ) ( x^2 - frac{x}{ sqrt[3]{3} } + frac{1}{ sqrt[3]{9} } )$ ;

$f_x (x) = ( 1 + frac{1}{ x sqrt[3]{3} } ) ( x^2 - frac{x}{ sqrt[3]{3} } + frac{1}{ sqrt[3]{9} } )$ ;

Причём, что следует и из предыдущего решения:

$D = frac{1}{ sqrt[3]{9} } - frac{4}{ sqrt[3]{9} } < 0 ,$

а значит, других корней нет. А поэтому, на области определения, т.е. при $x>0$ заданная функция всегда имеет положительную производную, а значит, всегда монотонно возрастает.

О т в е т : интервал монотонного возрастания

функции $f(x) = x^3 + ln{x}$ – это $( 0 ; +infty ) .$

*** В дополнение о том, о чём автор не спрашивал. У данной функции есть два интервала разнонаправленного кручения (что видно и из графика). От ноля до некоторого значения она закручивается по часовой стрелки, а после некоторого числа – против. Для нахождения этой точки (точки перегиба) можно решить как уравнение относительно ноля, вторую производную заданной функции.

$f_x (x) = ( 3x^2 + frac{1}{x} )_x = 6x - frac{1}{x^2} = frac{ 6x^3 - 1 }{x^2}$ ;

$x neq 0$ ;

$6x^3 - 1 = 0$ ;

$6x^3 = 1$ ;

$x^3 = frac{1}{6}$ ;

$x = frac{1}{ sqrt[3]{6} } approx 0.550$ ;

Это и есть абсцисса точки перегиба. Чтобы найти ординату точки перегиба, подставим это значение в исходную функцию:

$f( x=frac{1}{ sqrt[3]{6} } ) = ( frac{1}{ sqrt[3]{6} } } )^3 + ln{ frac{1}{ sqrt[3]{6} } } = frac{1}{6} - frac{1}{3} ln{6} = frac{ 1 - 2 ln{6} }{6} approx -0.431$ ;

Поскольку это единственный корень, то, с учётом общей алгебраической положительности второй производной, она положительна после него и отрицательна до.

Таким образом, на $x in ( 0 ; frac{1}{ sqrt[3]{6} } )$ и $y in ( -infty ; frac{ 1 - 2 ln{6} }{6} )$ – вторая производная отрицательна, т.е. график функции выпуклый, а кручение графика происходит по часовой стрелки.

На $x in ( frac{1}{ sqrt[3]{6} } ; +infty )$ и $y in ( frac{ 1 - 2 ln{6} }{6} ; +infty )$ – вторая производная положительна, т.е. график функции вогнутый, а кручение графика происходит против часовой стрелки.