На рисунке изображены окружности с центрами в точках A, B, C, D и E. Отрезками соединены центры касающихся окружностей. Известно, что AB=16, BC=14, CD=17, DE=13 и AE=14. В какой точке находится центр окружности наибольшего радиуса?

Обозначим радиусы окружностей, соответствуюх их центрам, как:
$R_A , R_B , R_C , R_D /$ и $R_E / .$

Тогда мы можем составить систему уравнений:

$/left/{/begin{array}{l} R_A + R_B = AB / , // R_B + R_C = BC / , // R_C + R_D = CD / , // R_D + R_E = DE / , // R_E + R_A = EA / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} R_A + R_B = 16 / , // R_B + R_C = 14 / , // R_C + R_D = 17 / , // R_D + R_E = 13 / , // R_E + R_A = 14 / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} R_A + R_B = 16 / , // R_B + R_C = 14 / , // R_C + R_D = 17 / , // ( R_E + R_A ) - ( R_D + R_E ) = 14 - 13 / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} R_A + R_B = 16 / , // R_B + R_C = 14 / , // R_C + R_D = 17 / , // R_A - R_D = 1 / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} R_A + R_B = 16 / , // R_B + R_C = 14 / , // R_C + R_D + R_A - R_D = 17+1 / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} R_A + R_B = 16 / , // R_B + R_C = 14 / , // R_C + R_A = 18 / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} R_A + R_B = 16 / , // ( R_C + R_A ) - ( R_B + R_C ) = 18 - 14 / ; /end{array}/right$

$/left/{/begin{array}{l} R_A + R_B = 16 / , // R_A - R_B = 4 / ; /end{array}/right$

$R_A + R_B + R_A - R_B = 16 + 4 / ;$

$2 R_A = 20 / ;$

$R_A = 10 / ;$

$R_B = 6 / ;$

$R_C = 8 / ;$

$R_D = 9 / ;$

$R_E = 4 / ;$

Наибольшим является радиус окружности, построенной около центра A.

О т в е т : A .