В ящике находятся 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся стандартными.

[[[ I ]]] точный метод

1) Выбрать 5 из 100 деталей всего можно    $C_{100}^5$     способами.

2) Выбрать 5 из 80 стандартных деталей можно    $C_{80}^5$     способами.

3а) Выбрать 4 из 80 стандартных деталей можно    $C_{80}^4$     способами.

3б) Выбрать одну из 20 нестандартных деталей
можно    $C_{20}^1 = 20$     способами.

3) Выбрать 4 из 80 стандартных деталей и ещё одну из 20 нестандартных можно    $20 C_{80}^4$     способами.

4) Выбрать не менее 4 стандартных деталей при выборе
можно    $C_{80}^5 + 20 C_{80}^4$     способами.

5) Вероятность    $P$     того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся стандартными равна:

$P = /frac{ C_{80}^5 + 20 C_{80}^4 }{ C_{100}^5 } = /frac{ 80!/(75!5!) + 20 /cdot 80!/(76!4!) }{ 100!/(95!5!) } = //// = /frac{ 80 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 77 /cdot 76/5! + 20 /cdot 80 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 77/4! }{ 100 /cdot 99 /cdot 98 /cdot 97 /cdot 96/5! } = /frac{ 80 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 77 /cdot 76/5! + 100 /cdot 80 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 77/5! }{ 100 /cdot 99 /cdot 98 /cdot 97 /cdot 96/5! } = //// = /frac{ 80 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 77 /cdot ( 76 + 100 ) }{ 100 /cdot 99 /cdot 98 /cdot 97 /cdot 96 } = /frac{ 80 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 77 /cdot 88 }{ 100 /cdot 99 /cdot 98 /cdot 97 /cdot 48 } = /frac{ 80 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 7 /cdot 88 }{ 100 /cdot 9 /cdot 98 /cdot 97 /cdot 48 } = /frac{ 8 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 7 /cdot 88 }{ 10 /cdot 9 /cdot 98 /cdot 97 /cdot 48 } = //// = /frac{ 8 /cdot 79 /cdot 78 /cdot 88 }{ 10 /cdot 9 /cdot 14 /cdot 97 /cdot 48 } = /frac{ 8 /cdot 79 /cdot 13 /cdot 88 }{ 10 /cdot 9 /cdot 14 /cdot 97 /cdot 8 } = /frac{ 79 /cdot 13 /cdot 88 }{ 10 /cdot 9 /cdot 14 /cdot 97 } = /frac{ 79 /cdot 13 /cdot 22 }{ 5 /cdot 9 /cdot 7 /cdot 97 } = /frac{ 22 / 594 }{ 30 / 555 } /approx 0.739453 / ;$

[[[ II ]]] приближённый метод

1) Вероятность    $P_5$     того, что из пяти взятых наудачу деталей –
– все пять окажутся стандартными равна:

$P_5 /approx ( /frac{80}{100} )^5 = ( /frac{8}{10} )^5 = /frac{8^5}{10^5} = /frac{2^{15}}{10^5} = /frac{ 2^{10} /cdot 2^5 }{10^5} = /frac{ 1024 /cdot 32 }{10^5} = 0.32768 / ;$

2) Вероятность    $P_4$     того, что из пяти взятых наудачу деталей –
– ровно четыре окажутся стандартными равна:

$P_4 /approx 5 /cdot /frac{20}{100} /cdot ( /frac{80}{100} )^4 = /frac{ 8^4 }{ 10^4 } = /frac{ 2^{12} }{ 10 / 000 } = 0.4096 / ;$

поскольку нестандартная может оказаться на одном из пяти мест.

3) Вероятность    $P$     того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся стандартными равна:

$P /approx P_4 + P_5 = 0.32768 + 0.4096 = 0.73728 / ;$