Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Найти общее решение:
$x^{2} * y = 2xy - 3$

$yx^2 = 2xy - 3 / ;$

Решим соответствующее однородное уравнение:

$x^2 /frac{dy}{dx} = 2xy / ;$

$/frac{dy}{y} = 2 /frac{dx}{x} / ;$

$/int{ /frac{dy}{y} } = 2 /int{ /frac{dx}{x} } / ;$

$/ln{|y|} = 2 /ln{|x|} + C_1 / ;$

$/ln{|y|} = /ln{ ( C|x|^2 ) } / ;$

$|y| = Cx^2 / ;$

$y = Cx^2 / ;$

Введём вместо константы C функцию f(x):

$y = x^2 f(x) / ;$

$y = 2x f(x) + x^2 f(x) / ;$

Подставим эти выражения в исходное неоднородное дифф.уравнение:

$x^2 ( 2x f(x) + x^2 f(x) ) = 2x /cdot x^2 f(x) - 3 / ;$

$2x^3 f(x) + x^4 f(x) = 2x^3 f(x) - 3 / ;$

$x^4 f(x) = - 3 / ;$

$f(x) = - /frac{3}{x^4} / ;$

$f(x) = /int{ f(x) } /, dx = - /int{ /frac{3}{x^4} } /, dx = - /int{ 3x^{-4} } /, dx = x^{-3} + C = /frac{1}{x^3} + C / ;$

Тогда общим решением исходного
неоднородного дифференциального уравнения будет:

$y = x^2 f(x) = x^2 ( /frac{1}{x^3} + C ) = /frac{1}{x} + Cx^2 / ;$

О т в е т : $y = /frac{1}{x} + Cx^2 / .$