Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
$y - y * tgx = /frac{1}{cosx}$
При x = 0, y = 0

Домножим всё на    $/cos{x} /$

$y /cos{x} - y /sin{x} = 1 / ;$

Решим соответствующее однородное дифф.уравнение:

$y /cos{x} - y /sin{x} = 0 / ;$

$/frac{dy}{dx} /cos{x} = y /sin{x} / ;$

$/frac{dy}{y} = tg{x} dx / ;$

$/int{ /frac{dy}{y} } = /int{ /frac{ /sin{x} /cdot dx }{ /cos{x} } } / ;$

$/ln{ | y | } = - /int{ /frac{ d /cos{x} }{ /cos{x} } } / ;$

$/ln{ | y | } = - /ln{ | /cos{x} | } + C_1 / ;$

$/ln{ | y | } = /ln{ | /frac{ C }{ /cos{x} } | } / ;$

$| y | = | /frac{ C }{ /cos{x} } | / ;$

$y = /frac{ C }{ /cos{x} } / ;$

Если заменить константу C функцией f(x), то решение примет вид:

$y = /frac{ f(x) }{ /cos{x} } / ;$

$y = /frac{ f(x) /cos{x} + f(x) /sin{x} }{ /cos^2{x} } / ;$

Подставим эти выражения в исходное:

$/frac{ f(x) /cos{x} + f(x) /sin{x} }{ /cos^2{x} } /cdot /cos{x} - /frac{ f(x) }{ /cos{x} } /cdot /sin{x} = 1 / ;$

$/frac{ f(x) /cos{x} + f(x) /sin{x} }{ /cos{x} } - /frac{ f(x) }{ /cos{x} } /cdot /sin{x} = 1 / ;$

$/frac{ f(x) /cos{x} + f(x) /sin{x} - f(x) /sin{x} }{ /cos{x} } = 1 / ;$

$/frac{ f(x) /cos{x} }{ /cos{x} } = 1 / ;$

$f(x) = 1 / ;$

$f(x) = x + C / ;$

Окончательное общее решение:

$y = /frac{ x + C }{ /cos{x} } / ;$

Наложим на решение начальные словия:   $( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) / :$

$0 = /frac{ 0 + C }{ /cos{0} } / ;$

$0 = 0 + C / ;$

$C = 0 / ;$

Частное решение:

$y = /frac{x}{ /cos{x} } / ;$

О т в е т :    $y = /frac{x}{ /cos{x} } / .$