Помогите, пожалуйста, решить комбинированный №15 из ЕГЭ по математике (бывш. С3)
Ответ $3/4/ /textless / x /leq 7$

*Не думаю что это решение лучшее, но другого я просто не увидел.
Найдем ОДЗ:
$4x-3 / /textgreater / 0$
$x / /textgreater / /frac{3}{4}$
Исходя из данных ограничений, можно открыть модуль и переписать неравенство в другом виде:
$/frac{{x^3-8+6x(2-x)} }{4x-3} /leq (4x-3)^{1/2}$
Числитель дроби можно преобразовать:
$x^3-8+6x(2-x)=(x-2)(x^2+2x+4-6x)=(x-2)^3$
Таким образом мы пришли к этому:
$/frac{(x-2)^3}{4x-3} /leq (4x-3)^{1/2}$
Перенесем все в одну часть, внесем под один знаменатель:
$/frac{(x-2)^3-((4x-3)^{1/2})^3}{4x-3} /leq 0$
Раскроем числитель как разность кубов:
$/frac{((x-2)- /sqrt{4x-3})((x-2)^2-(x-2)/sqrt{4x-3}+4x-3)}{4x-3} /leq 0$
Попробуем решить это неравенство методом интервалов, т.е. для начала найдем нули функции:
1) $(x-2)- /sqrt{4x-3}=0$
$/left /{ {{(4x-3)=(x-2)^2} /atop {x /geq 2}} /right.$
Единственное решение $x=7$
(и второе решение не влияет на знак неравенства, положительно)
2) $(x-2)^2-(x-2)/sqrt{4x-3}+4x-3=0$
$/left /{ {{4x-3=(x-2)^2+2(x-2) /frac{4x-3}{x-2} +(/frac{4x-3}{x-2})^2} /atop {(x-2)+/frac{4x-3}{x-2} /geq 0}} /right.$
После частичного упрощения верхнего уравнения системы получим:
$/left /{ {{-x^2-1=(/frac{4x-3}{x-2})^2} /atop {x/geq 2}} /right.$
Дальше решать смысла нет, т.к. верхнее уравнение не будет иметь решений (левая часть равенства всегда отрицательна, правая - положительна)
Одновременно с этим знак выражения
$(x-2)^2-(x-2)/sqrt{4x-3}+4x-3$
на допустимом (ОДЗ) интервале всегда положителен, поэтому оно никак не влияет на знак неравенства.*

Тогда все наше первоначальное неравенство эквивалентно данному:
$/frac{x-7}{4x-3} /leq 0$
Его решением и будет являться (с учетом ОДЗ)
$/frac{3}{4} / /textless / x /leq 7$

* Можно обосновать так:
$a^2-ab+b^2= / /textgreater / (/frac{a}{b} )^2-(/frac{a}{b})+1$ (в нашем случае уместно)
$D/ /textless / 0$ , коэффициент при числе в квадрате положителен, значит и все значения функции на интервале ОДЗ положительны.