В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15,а боковые рёбра равны 16.Найдите площадь сечения пирамиды,плоскостью,проходящей через точку D и середину ребра MB параллельно прямой AC

Собственно, вот в этой задаче (http://znanija.com/task/2360115) я уже решал, но почему-то пропали прикреплённые картинки. По этой причине повторюсь.

Если принять сторону основания за a, a ребро за b, то в зависимости от расчёта приходим к одной из формул (они приводимы друг к другу):

$S_{1}=frac{a}{sqrt{2}}cdotfrac{1}{3}cdotsqrt{b^2+4cdot a^2}$

$S_{2}=frac{asqrt{2}}{3}cdotsqrt{a^2+frac{b^2}{4}}$

Сначала доказываете, что плоскость BMD перпендикулярна AC, далее - перпендикулярна AC, AC пересекает BMD в точке P, ну и перпендикулярна всем прямым данной плоскости, проходящим через P => ND перпендикулярна AC.

Т.о. $S_{ANCD}=frac{1}{2}cdot|AC|cdot|NP|+frac{1}{2}cdot|AC|cdot|DP|$

т.е. $S_{ANCD}=frac{1}{2}cdot|AC|cdot|ND|$

Найдём длины нужных нам в дальнейшем отрезков:

$|BD|=|AC|=sqrt{|AD|^{2}+|DC|^2}=sqrt{a^{2}+a^2}=sqrt{2cdot|a|^{2}}=acdotsqrt{2}$

$|BO|=|OC|=|OD|=|OA|=frac{1}{2}cdot|AC|=frac{1}{2}cdot asqrt{2}=frac{a}{sqrt{2}}$

$|MO|=sqrt{|BM|^{2}-|BO|^{2}}=sqrt{b^{2}-frac{a^2}{2}}$

В треугольнике BMD DM и MO это медианы, пересекающиеся в точке P. Т.о. $|ND|=frac{3cdot|DP|}{2}$

AC || AC из подобия треугольников AMC и AMC следует, что $frac{|AC|}{|AC|}=frac{|MP|}{|MO|}=frac{frac{2}{3}cdot|MP|}{|MO|}=frac{2}{3}$

т.е. $|AC|=frac{2}{3}cdot|AC|=frac{2}{3}cdot asqrt{2}=frac{2cdotsqrt{2}}{3}cdot a$

$|DP|=sqrt{|PO|^2+|OD|^2}=sqrt{frac{|MO|^2}{9}+|OD|^2}$

$|DP|=sqrt{frac{|MB|^2-|BO|^2}{9}+|OD|^2}=sqrt{frac{|MB|^2}{9}-frac{|OD|^2}{9}+|OD|^2}$

$|DP|=frac{1}{3}sqrt{8cdot|OD|^2+|MB|^2}}=frac{1}{3}sqrt{8cdot(frac{a}{sqrt{2}})^2+b^2}}$

$|DP|=frac{1}{3}sqrt{4cdot a^2+b^2}}$

$S_{ANCD}=frac{1}{2}|AC||ND|=frac{1}{2}cdotfrac{2}{3}|AC|cdotfrac{3}{2}|PD|=frac{1}{2}|AC||PD|$

$S_{ANCD}=frac{1}{2}cdot acdotsqrt{2}cdot frac{1}{3}sqrt{4cdot a^2+b^2}}=frac{a}{3cdotsqrt{2}}cdotsqrt{4cdot a^2+b^2}}$

Теперь подставляем значения в формулу:

$S_{ANCD}=frac{15}{3cdotsqrt{2}}cdotsqrt{4cdot 15^2+16^2}}=frac{5}{sqrt{2}}cdot 2sqrt{3^2cdot 5^2+4^3}$

$S_{ANCD}=5sqrt{2}cdotsqrt{9cdot25+64}=5sqrt{2}sqrt{225+64}=5sqrt{2}sqrt{289}$

Ответ: $S_{ANCD}=5sqrt{2}sqrt{289}$

P.S.> Для примера - есть вариант, где a=6, b=12. В этом случае результат будет следующий:

$S_{ANCD}=frac{6}{3cdotsqrt{2}}cdotsqrt{4cdot 6^2+12^2}}=sqrt{2}cdotsqrt{4cdot4cdot3^2+4^2cdot3^2}$

$S_{ANCD}=sqrt{2}cdot 4cdot 3cdotsqrt{2}=2cdot 12=24$

Это соответствует правильному ответу.

P.P.S.> Попробую прикрепить ещё снимки решения на бумаге (если получится) - там 2 варианта. Почему-то не всегда прикреплённые картинки сохраняются. По этому и вбил решение текстом.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы