В правильной четырех-угольной пирамиде MABCD c вершиной M стороны основания равны 9/2, а боковые ребра равны 12. Найти площадь сечения пирамиды, плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра AM параллельно прямой BD это С2, будет лучше если с решинием

На вложенном рисунке диагональные сечения пирамиды с введенными обозначениями:

P - середина AM

O - центр основания, она же основание высоты

Q - проекция P на основание

L - пересечение высоты пирамиды и CP

K и N - точки пересечения ребер MD и MB плоскостью сечения (по условию эта прямая параллельна BD).

Теперь рассмотрим длины некоторых отрезков:

|AC| = |BD| = $frac{9}{sqrt{2}}$

Из подобия треугольников APQ и AMO

$|AQ| = frac{|AO|}{2} = frac{|AC|}{4} = frac{9sqrt{2}}{8}$

$|MO|= sqrt{12^2-(frac{9sqrt{2}}{4})^2}}=sqrt{frac{1071}{8}}=3sqrt{frac{119}{8}}$

Достаточно очевидно, что

$frac{|QC|}{|OC|} = frac{3}{2}$

из подобия треугольников CPQ и CLO имеем:

$frac{|PQ|}{|LO|} = frac{QC}{OC} = frac{3}{2}$

следовательно:

$|LO| = frac{2}{3}|PQ| = frac{2}{3}(frac{1}{2}|MO|) = frac{|MO|}{3} = sqrt{frac{119}{8}}$

Из подобия треугольников MDB и MKN:

$|KN| = frac{|ML|}{|MO|}|DB| = frac{2}{3}|DB| = frac{9sqrt{2}}{3}$

$|PC| = sqrt{|PQ|^2+|QC|^2} = sqrt{frac{9*119}{4*8}+frac{9*81}{16*2}} = = sqrt{frac{900}{16}}=frac{15}{2}$

Вполне очевидно, что BD перпендикулярно плоскости ACM

Следовательно и KN перпендикулярно ей, а значит и прямой PC

А т.к. диагонали четырехугольника CKPN перпендикулярны, то его площадь равна произведению длин этих диагоналей...

$S = |PC|*|KN| = frac{15}{2}*frac{9sqrt{2}}{3}=frac{45sqrt{2}}{2}approx 31.82$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы