В правильной треугольной пирамиде SABC длина апоферы равна
$frac{ sqrt{37} }{6}$ , а отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно $frac{ sqrt{10} }{3}$ . Найти объем пирамиды.

Пусть ребро и высота равны соответственно x и y, по условию
$frac{x}{y}= frac{sqrt{10}}{3}$
пусть z - сторона основания тогда радиус вписанной окружности будет равен
$r= frac{sqrt{3}z}{6}$
а апофему выразим через высоту и радиус
$y^2+ (frac{sqrt{3}z}{6})^2= frac{37}{36}$

а центр вписанной окружности, совпадает с центром описанной окружности
r=2R , только в равностороннем треугольнике
отудого
$sqrt{x^2-y^2}= frac{sqrt{3}z}{3}$

решаем систему их трех неизвестных
получаем
$z= frac{ sqrt{3} }{3} y=1 x= frac{sqrt{10}}{3} V=frac{SH}{3} S=frac{sqrt{3}}{12} V=frac{frac{sqrt{3}}{12}}{3}=frac{sqrt{3}}{36}$