Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой.
1-2 примера на ваш выбор.нужен хороший ответ.

№ 2

$y=-x^2-1 / ;$

$y_x = - 2 /cdot x^{2-1} = - 2x / ;$

$y_x = - 2x / ;$

$y_x = ( y_x )_x = (- 2x)_x = -2 / ;$

$y_x = -2 < 0 /$     всегда, а значит,

функция всегда выпукла и не имеет точек перегиба.

О т в е т : выпуклость   $x /in R /equiv ( -/infty ; +/infty ) / ,$     перегибов нет.

№ 3

$y = 6x^2 - x^3 / ;$

$y_x = 2 /cdot 6x^{2-1} - 3 /cdot x^{3-1} = 12x - 3x^2 / ;$

$y_x = 12x - 3x^2 / ;$

$y_x = ( y_x )_x = ( 12x - 3x^2 )_x = 12 - 2 /cdot 3x^{2-1} = 12 - 6x / ;$

$y_x = 12 - 6x / ;$

$y_x /leq 0 / ; / /Rightarrow / 12 - 6x /leq 0 / ; / /Rightarrow / x /geq 2 / ;$

значит функция выпукла при x>2, а в точке x=2 имеет перегиб.

О т в е т : выпуклость   $x /in ( 2 ; +/infty ) / ,$     перегиб при    $x = 2 / .$

№ 4

$f(x) = x^3 - x / ;$

$f_x (x) = 3 /cdot x^{3-1} - 1 = 3x^2 - 1 / ;$

$f_x (x) = 3x^2 - 1 / ;$

$f_x (x) = ( f_x (x) )_x = ( 3x^2 - 1 )_x = 2 /cdot 3x^{2-1} = 6x / ;$

$f_x (x) = 6x / ;$

$y_x /leq 0 / ; / /Rightarrow / 6x /leq 0 / ; / /Rightarrow / x /leq 0 / ;$

значит функция выпукла при x<0, а в точке x=0 имеет перегиб.

О т в е т : выпуклость   $x /in ( -/infty ; 0 ) / ,$     перегиб при    $x = 0 / .$

№ 5

$f(x) = /frac{1}{3} x^3 - 3x^2 +8x - 4 / ;$

$f_x (x) = 3 /cdot /frac{1}{3} x^{3-1} - 2 /cdot 3x^{2-1} + 8 = x^2 - 6x + 8 / ;$

$f_x (x) = x^2 - 6x + 8 / ;$

$f_x (x) = ( f_x (x) )_x = ( x^2 - 6x + 8 )_x = 2 /cdot x^{2-1} - 6 = 2x - 6 / ;$

$f_x (x) = 2x - 6 / ;$

$y_x /leq 0 / ; / /Rightarrow / 2x - 6 /leq 0 / ; / /Rightarrow / x /leq 3 / ;$

значит функция выпукла при x<3, а в точке x=3 имеет перегиб.

О т в е т : выпуклость   $x /in ( -/infty ; 3 ) / ,$     перегиб при    $x = 3 / .$