Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, находится вне этого треугольника, если его угол C наибольшмий. Найдите величину угла C если площадь треугольника равна 2/3 см^2, а AC= 2 см, BC=4 см.

Площадь треугольника находится по формуле

$S_Delta=0,5*a*b*sinangle (a,b)$

В данном случае это будет выглядеть как

$S_{Delta,ABC}=0,5*AC*BC*sinangle C$

Подставим известные значения

$2sqrt{3}=0,5*2*4*sinangle C$

$2sqrt{3}=4*sinangle C$

$sinangle C=frac{2sqrt{3}}{4}$

$sinangle C=frac{sqrt{3}}{2}$

$angle C=(-1)^nfrac{pi}{3}+2pi n,quad nin Z$

В данном случае может быть два ответа.

при n=0, $angle C=frac{pi}{3}$ , то есть 60 градусов. Но так как угол С - наибольший, то другие углы должны быть меньше 60 градусов. Этого быть не может. Так как на другие углы приходиться 180-60=120 градусов. Здесь применена теорема о том, что сумма углов треугольника в геометрии Евклида равна 180 градусам. В любом случае хотя бы один из двух оставшихся углов будет больше или равен 120:2=60 градусов. В этом случае не выполняется условие наибольшести угла С.