Решите уравнение $xy+x-y=2$ в целых числах (диофантово уравнение).

Найти все $displaystyle {x,y}$ такие, что $displaystyle x,yinmathbb{Z}$ и $displaystyle xy+x-y=2$ .

Решим $displaystyle xy+x-y=2$ для $displaystyle x$ .
Прибавим $displaystyle y$ к обеим частям уравнения:
$displaystyle xy+x=y+2;$
Вынесем $displaystyle x$ за скобки в левой части уравнения:
$displaystyle x(y+1)=y+2;$
Рассмотрим случай, когда $displaystyle yneq{-1}$ , и разделим обе части уравнения на $displaystyle y+1$ :
$displaystyle x=frac{y+2}{y+1};$
Запишем член $displaystyle 2$ в числителе в правой части уравнения как $displaystyle 1+1$ :
$displaystyle x=frac{y+1+1}{y+1};$
Разобём дробь в правой части уравнения на сумму дробей:
$displaystyle x=frac{y+1}{y+1}+frac{1}{y+1};$
Упростим:
$displaystyle x=1+frac{1}{y+1}.$

Заметим, что $displaystyle x$ является целым тогда и только тогда, когда член $displaystylefrac{1}{y+1}$ в правой части уравнения является целым.

Член $displaystylefrac{1}{y+1}$ является целым тогда и только тогда, когда знаменатель противоположен или является делителем числителя.

Числитель $displaystyle 1$ имеет ровно один делитель: $displaystyle 1$ . Получаем:
$displaystyle y+1=1 lor y+1=-1$ .
Решим для $displaystyle y$ .
Прибавим $displaystyle -1$ к обеим частям уравнений:
$displaystyle y=0 lor y=-2$ .

Подставим в исходное уравнение, решённое для $displaystyle x$ :
$displaystyle x=1+frac{1}{0+1}=2 lor x=1+frac{1}{-2+1}=0.$

Проверим, есть ли решения при исключённом случае $displaystyle y=-1$ , подставив в исходное уравнение $displaystyle y=-1$ :
$displaystyle xtimes(-1)+x-(-1)=2;$
$displaystyle -x+x+1=2;$
$displaystyle 1=2$ , следовательно, при $displaystyle y=-1$ решений нет.

$displaystyleboxed{x=0 land y=-2 lor x=2 land y=0}phantom{.}.$